概率論畢業論文：概率論起源

　　概率論是一門應用非常廣泛的學科。在數學史上,它的產生是以帕斯卡和費馬在1654 年的七封通信為標志的。由于這些信件中所解決的問題多是與賭博有關的點數問題,因此人們總是把概率論的產生歸功于賭博這項機遇游戲。但考古學發現告訴我們,賭博游戲早在文明初期就已經存在了,迄今已有幾千年的歷史,而概率論從誕生至今不過三百余年,這說明賭博并不是概率論產生的決定性條件。在從賭博出現到概率論產生之間的這段“空白”期,必定還有一些十分關鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么? 換句話說,需要具備哪些先決條件,概率論才能得以形成?

　　一　獨立隨機過程的出現

　　對概率論而言,兩個最主要的概念就是獨立性和隨機性[1 ] 。概率論是從研究古典概型開始的,它所涉及的研究對象是大量的獨立隨機過程。通過對這些過程中出現的問題的解決,概率理論體系才逐漸地建立起來。因此要考察概率論的產生條件,我們首先應當對獨立隨機過程的產生有充分的了解。

　　事實上,這種過程的雛形早在原始社會就已經存在了,那時的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個或多個趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對人事的不同意見。由于投擲趾骨這個過程所產生的結果具有不可預測性,而每次投擲的結果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理相當,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規則性較差,各種結果出現的機率不完全相同(即不具備等可能性) ,所以趾骨產生的隨機過程還不是我們今天意義上的獨立隨機過程。加之趾骨作為一種占卜工具,其本身具有神圣的地位,普通人不可能輕易使用,這也在某種程度上阻礙了人們對隨機過程的認識。

　　隨著社會的進步和文明的發展,骰子變得越來越普遍,不僅數量增多,規則性也日益精良,此時它已不再是一件神圣的器具而逐漸成為普通大眾的日常用具。從原理上看,只要一枚骰子是質地均勻的,它就可以產生一系列標準的獨立隨機過程。這些過程具備良好的性質(獨立性、隨機性、等可能性) ,是進行概率研究的理想對象。如果經常接觸這些隨機過程,就很有可能從中發現某些規律性。實際上,通過對骰子的研究我們確實發現了一些有趣的現象。在考古出土的骰子當中,有一些被證明是用于賭博的工具,它們的形狀規則而質地卻不均勻,也就是說,骰子的重心并不在其幾何中心。可以想像,如果骰子的某一面較重,則其對面朝上的機率就會增大,這種骰子明顯是為了賭博時用于作弊。而從另一個角度看,如果古代人知道質地不均勻的骰子產生各個結果的可能性不同,那么他們必定清楚一個均勻的骰子產生任何一個結果的機率是相等的。也就是說,經常從事賭博的人必然可以通過大量的游戲過程,意識到擲骰子所得到的結果具有某種規律性,并且這種規律性還可以通過改變骰子的質地而得到相應的改變。雖然古代人的這些意識還只停留在經驗總結的水平上,卻不得不承認這是一種最原始的概率思想。

　　賭博游戲存在的時間之長、范圍之廣、形式之多令人驚訝。但有如此眾多的人沉迷于這種游戲活動,也在客觀上積累了大量的可供學者進行研究的隨機過程。更為重要的是,

　　在進行賭博的過程中,或許是受到經濟利益的驅使,已經開始有人試圖解開骰子的奧秘。意大利數學家卡爾達諾就是其中的一位。他本人是個大賭徒,嗜賭如命,但他卻具有極高的數學天分。在賭博的過程中,卡爾達諾充分發揮了他的數學才能,研究可以常勝不輸的方法。據說他曾參加過這樣一種賭法:把兩顆骰子擲出去,以每個骰子朝上的點數之和作為賭的內容。那么,賭注下在多少點上最有利?

　　兩個骰子朝上的面共有36 種可能,點數之和分別為2～12 共11 種,從上圖可知,7 位于此六階矩陣的對角線上,它出現的概率為6/ 36 = 1/ 6 ,大于其他點數出現的概率,因此卡爾達諾預言說押7 最好。這種思想今天看來很簡單,但在當時卻是很杰出的。他還以自己豐富的實踐經驗為基礎,寫成了全面探討賭博的《機遇博奕》(liber de ludo aleae 英譯為the book of game of chance) 一書,書中記載了他研究賭博的全部成果,并且明確指出骰子應為“誠實的”(honest) ,即六個面出現的機會相等,以便在此基礎上研究擲多粒骰子的等可能結果數[2 ] 。

　　這些實例充分說明,賭博曾對概率論的產生起過積極的作用。這可能就是人們在談到概率論時總是把它與賭博聯系在一起的緣故吧。但是我們應該認識到,賭博的價值并不在于其作為一種游戲的娛樂作用,而在于這種機遇游戲的過程實際上就是良好的獨立隨機過程。只有出現了獨立隨機過程,概率論才有了最初的研究對象。而概率論也的確是在解決機遇游戲中出現的各種問題的基礎上建立起自己的理論體系的。因此在概率論的孕育期,可以作為一種模型進行研究的機遇游戲過程即獨立隨機過程的出現是概率論得以產生的一個重要前提條件。

　　二　先進計數系統的出現

　　前面曾經提到,獨立隨機過程的出現并不是概率論誕生的決定性因素。代寫職稱論文 僅有概率思想而不能將概率結果表達出來,也不能形成完整的理論。概率論是一門以計算見長的數學分支,計算過程中需要運用大量的加法和乘法原理(組合數學原理) 進行純數字運算。對于現代人來說,概率計算并不是一件難事。但是對于16 世紀以前的人來說,計算卻是十分困難的,原因就在于古代缺乏簡便的計數系統。當時的計數符號既繁瑣又落后,書寫和使用都很不方便,只能用來做簡單的記錄,一旦數目增大,運算復雜,這些原始的符號就盡顯弊端了。而沒有簡便的計數符號,進行概率計算將是十分困難的事,因此計數符號是否先進也在一定程度上決定著概率論的形成。

　　對于這一點,現代人可能不容易體會得到,究竟古代的計數符號復雜到什么程度呢? 我們可以以古羅馬的計數系統為例來說明。

　　古羅馬的計數系統是一種現在最為人們熟悉的簡單分群數系,大約形成于紀元前后。羅馬人創造了一種由7 個基本符號組成的5 進與10 進的混合進制記數法,即

　　i v xl c d m

　　15 1050 100 500 1000

　　在表示其他數字時采取符號重復的辦法,如ⅲ表示3 ,表示20 ,cc表示200 等。但如果數字較大表示起來就相當復雜了,比如:1999 =mdcccclviiii

　　后來為了簡化這種復雜的表示法,羅馬人又引進了減法原則,即在一個較大的單位前放一個較小單位表示兩者之差,如ⅳ表示4 ,cm表示900 ,則1999 =mcmxcix

　　如果要計算235 4 = 940 ,現代的豎式是

　　而公元8 世紀時英國學者阿爾琴演算同一道題的過程則要復雜得多:古羅馬數字對于這樣一個既不含分數和小數,數字又很簡單(只有三位數) 的乘法運算處理起來尚且如此復雜,可以想象,即使數學家有足夠的時間和耐心,要解決概率計算里涉及的大量純數字運算也是一件太耗費精力的事。在這種情況下想要作出成果,數學家們的時間不是用來研究理論而只能是忙于應付這些繁重的計算工作了。顯然古羅馬的計數系統并不適合于進行計算,而事實上,歐洲的代數學相比幾何學而言遲遲沒能發展起來,很大程度上也是由于受到這種落后的計數系統的限制。不僅僅是古羅馬數字,在人類文明史上出現過的其他幾種計數系統(如古埃及、古巴比倫等的計數系統) 也由于符號過于復雜,同樣不能承擔進行大量計算的任務。