平面向量教案（通用2篇）
平面向量教案 篇1
二、復習要求
1、 向量的概念;
2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積等的定義,運算律;
3、向量運算的運用
三、學習指導
1、向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中,借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。
向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。
2、 向量的三種線性運算及運算的三種形式。
向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結果是向量,兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式:圖形、符號、坐標語言。
主要內容列表如下:
運 算 圖形語言 符號語言 坐標語言
加法與減法
=
- =
記 =(x1,y1), =(x1,y2)
則 =(x1 x2,y1 y2)
- =(x2-x1,y2-y1) =
實數與向量
的乘積
=λ
λ∈r 記 =(x,y)
則λ =(λx,λy) 兩個向量
的數量積
· =| || |
cos< , >
記 =(x1,y1), =(x2,y2)
則 · =x1x2 y1y2
3、 運算律
加法: = ,( ) = ( )
實數與向量的乘積:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=
(λμ)
兩個向量的數量積: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·
說明:根據向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則,正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算,例如( ± )2=
4、 重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于該平面內任一向量 ,有且只有一對數數λ1,λ2,滿足 =λ1 λ2 ,稱λ1 λ λ2 為 , 的線性組合。
根據平面向量基本定理,任一向量 與有序數對(λ1,λ2)一一對應,稱(λ1,λ2)為 在基底{ , }下的坐標,當取{ , }為單位正交基底{ , }時定義(λ1,λ2)為向量 的平面直角坐標。
向量坐標與點坐標的關系:當向量起點在原點時,定義向量坐標為終點坐標,即若a(x,y),則 =(x,y);當向量起點不在原點時,向量 坐標為終點坐標減去起點坐標,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1)
(2)兩個向量平行的充要條件
符號語言:若 ∥ , ≠ ,則 =λ
坐標語言為:設 =(x1,y1), =(x2,y2),則 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0
在這里,實數λ是唯一存在的,當 與 同向時,λ>0;當 與 異向時,λ<0。
|λ|= ,λ的大小由 及 的大小確定。因此,當 , 確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數乘向量中λ的幾何意義。
(3)兩個向量垂直的充要條件
符號語言: ⊥ · =0
坐標語言:設 =(x1,y1), =(x2,y2),則 ⊥ x1x2 y1y2=0
(4)線段定比分點公式
如圖,設
則定比分點向量式:
定比分點坐標式:設p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)
則
特例:當λ=1時,就得到中點公式:
,
實際上,對于起點相同,終點共線三個向量 , , (o與p1p2不共線),總有 =u v ,u v=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數和為1。
(5)平移公式:
① 點平移公式,如果點p(x,y)按 =(h,k)平移至p'(x',y'),則
分別稱(x,y),(x',y')為舊、新坐標, 為平移法則
在點p新、舊坐標及平移法則三組坐標中,已知兩組坐標,一定可以求第三組坐標
②圖形平移:設曲線c:y=f(x)按 =(h,k)平移,則平移后曲線c'對應的解析式為y-k=f(x-h)
當h,k中有一個為零時,就是前面已經研究過的左右及上下移
利用平移變換可以化簡函數解析式,從而便于研究曲線的幾何性質
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2 c2-2cbcosa
b2=c2 a2-2cacosb
c2=a2 b2-2abcosc
定理變形:cosa= ,cosb= ,cosc=
正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的數學概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標系的引入,體現了向量解決問題的"程序性"特點。
四、典型例題
例1、如圖, , 為單位向量, 與 夾角為1200, 與 的夾角為450,| |=5,用 , 表示 。
分析:
以 , 為鄰邊, 為對角線構造平行四邊形
把向量 在 , 方向上進行分解,如圖,設 =λ , =μ ,λ>0,μ>0
則 =λ μ
∵ | |=| |=1
∴ λ=| |,μ=| |
△ oec中,∠e=600,∠oce=750,由 得:
∴
∴
說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構造平行四邊形來處理
例2、已知△abc中,a(2,-1),b(3,2),c(-3,-1),bc邊上的高為ad,求點d和向量 坐標。
分析:
用解方程組思想
設d(x,y),則 =(x-2,y 1)
∵ =(-6,-3), · =0
∴ -6(x-2)-3(y 1)=0,即2x y-3=0 ①
∵ =(x-3,y-2), ∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y 1=0 ②
由①②得:
∴ d(1,1), =(-1,2)
例3、求與向量 = ,-1)和 =(1, )夾角相等,且模為 的向量 的坐標。
分析:
用解方程組思想
法一:設 =(x,y),則 · = x-y, · =x y
∵ < , >=< , >
∴&nb
∴
即 ①
又| |=
∴ x2 y2=2 ②
由①②得 或 (舍)
∴ =
法二:從分析形的特征著手
∵ | |=| |=2
· =0
∴ △aob為等腰直角三角形,如圖
∵ | |= ,∠aoc=∠boc
∴ c為ab中點
∴ c( )
說明:數形結合是學好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質可以簡化計算。
例4、在△oab的邊oa、ob上分別取點m、n,使| |∶| |=1∶3,| |∶| |=1∶4,設線段an與bm交于點p,記 = , = ,用 , 表示向量 。
分析:
∵ b、p、m共線
∴ 記 =s
∴ ①
同理,記
∴ = ②
∵ , 不共線
∴ 由①②得 解之得:
∴
說明:從點共線轉化為向量共線,進而引入參數(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質得到關于s,t的方程。
例5、已知長方形abcd,ab=3,bc=2,e為bc中點,p為ab上一點
(1) 利用向量知識判定點p在什么位置時,∠ped=450;
(2) 若∠ped=450,求證:p、d、c、e四點共圓。
分析:
利用坐標系可以確定點p位置
如圖,建立平面直角坐標系
則c(2,0),d(2,3),e(1,0)
設p(0,y)
∴ =(1,3), =(-1,y)
∴
· =3y-1
代入cos450=
解之得 (舍),或y=2
∴ 點p為靠近點a的ab三等分處
(3) 當∠ped=450時,由(1)知p(0,2)
∴ =(2,1), =(-1,2)
∴ · =0
∴ ∠dpe=900
又∠dce=900
∴ d、p、e、c四點共圓
說明:利用向量處理幾何問題一步要驟為:①建立平面直角坐標系;②設點的坐標;③求出有關向量的坐標;④利用向量的運算計算結果;⑤得到結論。
同步練習
(一) 選擇題
1、 平面內三點a(0,-3),b(3,3),c(x,-1),若 ∥ ,則x的值為:
a、 -5 b、-1 c、1 d、5
2、平面上a(-2,1),b(1,4),d(4,-3),c點滿足 ,連dc并延長至e,使| |= | |,則點e坐標為:
a、(-8, ) b、( ) c、(0,1) d、(0,1)或(2, )
2、 點(2,-1)沿向量 平移到(-2,1),則點(-2,1)沿 平移到:
3、 a、(2,-1) b、(-2,1) c、(6,-3) d、(-6,3)
4、 △abc中,2cosb·sinc=sina,則此三角形是:
a、 直角三角形 b、等腰三角形 c、等邊三角形 d、以上均有可能
5、 設 , , 是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:
①( · ) -( · ) =0
②| |-| |<| - |
③( · ) -( · ) 不與 垂直
④(3 2 )·(3 -2 )=9| |2-4 |2中,
真命題是:
a、①② b、②③ c、③④ d、②④
6、△abc中,若a4 b4 c4=2c2(a2 b2),則∠c度數是:
a、600 b、450或1350 c、1200 d、300
7、△oab中, = , = , = ,若 = ,t∈r,則點p在
a、∠aob平分線所在直線上 b、線段ab中垂線上
c、ab邊所在直線上 d、ab邊的中線上
8、正方形pqrs對角線交點為m,坐標原點o不在正方形內部,且 =(0,3), =(4,0),則 =
a、( ) b、( ) c、(7,4) d、( )
(二) 填空題
9、已知{ , |是平面上一個基底,若 = λ , =-2λ - ,若 , 共線,則λ=__________。
10、已知| |= ,| |=1, · =-9,則 與 的夾角是________。
11、設 , 是兩個單位向量,它們夾角為600,
則(2 - )·(-3 2 )=____________。
12、把函數y=cosx圖象沿 平移,得到函數___________的圖象。
(三) 解答題
13、設 =(3,1), =(-1,2), ⊥ , ∥ ,試求滿足 = 的 的坐
14、若 =(2,-8), - =(-8,16),求 、 及 與 夾角θ的余弦值。
15、已知| |= ,| |=3, 和 夾角為450,求當向量 λ 與λ 夾角為銳角時,λ的取值范圍。
參考答案
(一)1、c 2、b 3、d 4、b 5、d 6、b 7、a 8、a
(二)9、 10、 11、 12、y=sinx 1
(三)13、(11,6)
14、 =(-3,4), =(5,-12),
15、λ< ,或λ> 且λ≠
平面向量教案 篇2
1、三角形中的特殊位置(四心)所滿足的向量方程:
(1)重心滿足的向量方程: ;
(2)內心滿足的向量方程: 或 ;
(3)外心滿足的向量方程: ;
(4)垂心滿足的向量方程: ;(斜三角形中)
2、已知 是 所在平面上的一點,若 ,則 是 的垂心。
3、若 為 的外心,若 為 的重心,若h為 的垂心,則o,g,h三點共線,且 , ,若o為坐標原點,則重心和外心的坐標分別為:
, 。
4、已知 是 所在平面上的一點,若 ,則 是 的外心。
5、點 為三角形 的重心的充要條件是對平面上的任意一點 , 。
6、 為 方向上與 同向的單位向量。
7、設 、 是直線 上兩點,點 是 上不同于 、 的任意一點,且 ,則 。
特別地,當 時, (向量的中點公式)。
8、若 、 、 三點不共線,已知 ,則 、 、 三點共線的充要條件是 。
9、若 、 不共線,且 ,則必有 。
10、向量平移后與原向量相等,即向量平移后坐標是不變的。
11、若直線 的方向向量為 ,則直線 的斜率與該向量的關系為 。
12、若 、 、 分別為 、 、 的中點,則 。
13、若向量 、 、 滿足條件 ,且 ,則 為正三角形。
14、若 為 的重心,且 ,則 為正三角形。
15、三角形中一些特殊直線的向量表示:
(1) 是 的中線 ;
(2) 是 的高線 ;
(3) 是 的內角平分線 ;
(4) 是 的外角平分線 。
16、兩向量的夾角為銳角不是兩向量數量積為正的充要條件,因為要排除夾角為0的情形;
兩向量的夾角為鈍角也不是兩向量數量積為負的充要條件,因為要排除夾角為 的情形。
17、設 是 與 的夾角,則 稱作為 在 方向上的投影。
。夾角
18、在平行四邊形 中,若 則平行四邊形 是菱形;
在平行四邊形 中,若 ,則平行四邊形 是矩形;
在平行四邊形 中, (變形即中線定理)。