求解三對(duì)角線性方程組兩類(lèi)并行算法的特點(diǎn)
一、概述
三對(duì)角線性方程組的求解是許多科學(xué)和工程計(jì)算中最重要也是最基本的問(wèn)題之一。在核物理、流體力學(xué)、油藏工程、石油地震數(shù)據(jù)處理及數(shù)值天氣預(yù)報(bào)等許多領(lǐng)域的大規(guī)模科學(xué)工程和數(shù)值處理中都會(huì)遇到三對(duì)角系統(tǒng)的求解問(wèn)題。很多三對(duì)角線性方程組的算法可以直接推廣到求解塊三對(duì)角及帶狀線性方程組。由于在理論和實(shí)際應(yīng)用上的重要性，近20年來(lái)三對(duì)角方程組的并行算法研究十分活躍。
大規(guī)模科學(xué)計(jì)算需要高性能的并行計(jì)算機(jī)。隨著軟硬件技術(shù)的發(fā)展，高性能的并行計(jì)算機(jī)日新月異。現(xiàn)今，smp可構(gòu)成每秒幾十億次運(yùn)算的系統(tǒng)，pvp和cow可構(gòu)成每秒幾百億次運(yùn)算的系統(tǒng)，而mpp和dsm可構(gòu)成每秒萬(wàn)億次運(yùn)算或更高的系統(tǒng)。
高性能并行計(jì)算機(jī)只是給大型科學(xué)計(jì)算提供了計(jì)算工具。如何發(fā)揮并行計(jì)算機(jī)的潛在性能和對(duì)三對(duì)角系統(tǒng)進(jìn)行有效求解，其關(guān)鍵在于抓住并行計(jì)算的特點(diǎn)進(jìn)行并行算法的研究和程序的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)。另外，對(duì)處理機(jī)個(gè)數(shù)較多的并行計(jì)算系統(tǒng)，在設(shè)計(jì)并行算法時(shí)必須解決算法的可擴(kuò)展性，并對(duì)可擴(kuò)展性進(jìn)行研究和分析。
二、問(wèn)題的提出
設(shè)三對(duì)角線性方程組為
ax=y （1）
式中：a∈rnn非奇異，αij=0， 。x=(x1，x2，…xn)t y=(y1，y2，…yn）t。
此系統(tǒng)在許多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理論和實(shí)際意義的。
三、并行求解三對(duì)角系統(tǒng)的直接解法
關(guān)于三對(duì)角線性方程組的直接求解已經(jīng)有大量并行算法，其中wang的分裂法是最早針對(duì)實(shí)際硬件環(huán)境，基于分治策略提出的并行算法。它不僅通信結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易推廣到一般帶狀線性方程組的并行求解，而且為相繼出現(xiàn)的許多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。
近20年來(lái)求解三對(duì)角方程組的并行算法都是基于分治策略，即通過(guò)將三對(duì)角方程組分解成p個(gè)小規(guī)模問(wèn)題，求解這p個(gè)小規(guī)模問(wèn)題，再將這些解結(jié)合起來(lái)得到原三對(duì)角方程組的解。一般求解三對(duì)角方程組的分治方法的計(jì)算過(guò)程可分為3個(gè)階段：一是消去，每臺(tái)處理機(jī)對(duì)子系統(tǒng)消元；二是求解縮減系統(tǒng)（需要通信）；三是回代，將縮減系統(tǒng)的解回代到每個(gè)子系統(tǒng)，求出最終結(jié)果。具體可分為以下幾類(lèi)：
（一）遞推耦合算法（recursive doubling）
由stone于1975年提出，算法巧妙地把lu分解方法的時(shí)序性很強(qiáng)的遞推計(jì)算轉(zhuǎn)化為遞推倍增并行計(jì)算。d.j.evans對(duì)此方法做了大量研究。p.dubois和g.rodrigue的研究表明stone算法是不穩(wěn)定的。
（二）循環(huán)約化方法（cyclic reduction）
循環(huán)約化方法由hockey和g.golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代將偶數(shù)編號(hào)方程中的奇變量消去，只剩下偶變量，問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求解僅由偶變量組成的規(guī)模減半的新三對(duì)角方程組。求解該新方程組，得到所有的偶變量后，再回代求解所有的奇變量。即約化和回代過(guò)程。由于其基本的算術(shù)操作可以向量化，適合于向量機(jī)。此方法有大量學(xué)者進(jìn)行研究，提出了許多改進(jìn)的方法。例如，heller針對(duì)最后幾步的短向量操作提出了不完全循環(huán)約化方法；r.reulter結(jié)合ibm3090vf向量機(jī)的特點(diǎn)提出了局部循環(huán)約化法；p.amodio針對(duì)分布式系統(tǒng)的特點(diǎn)改進(jìn)了循環(huán)約化方法；最近針對(duì)此方法又提出對(duì)三對(duì)角方程組進(jìn)行更大約化步的交替迭代策略。