正方形 啟發(fā)式教學(xué)示例

教學(xué)建議

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)和與平行四邊形的關(guān)系，建議教師在教學(xué)過程 中注意以下問題：

1.正方形的知識，學(xué)生在小學(xué)時(shí)接觸過一些，可由小學(xué)學(xué)過的知識作為引入。

2.正方形在現(xiàn)實(shí)中的實(shí)例較多，在講解正方形的性質(zhì)和判定時(shí)，教師可自行準(zhǔn)備或由學(xué)生準(zhǔn)備一些生活實(shí)例來進(jìn)行判別應(yīng)用了哪些性質(zhì)和判定，既增加了學(xué)生的參與感又鞏固了所學(xué)的知識.

3. 如果條件允許，教師在講授這節(jié)內(nèi)容前，可指導(dǎo)學(xué)生按照教材145頁圖4-30所示，制作一個(gè)平行四邊形作為教學(xué)過程 中的道具，既增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和參與感，有在教學(xué)中有切實(shí)的體例，使學(xué)生對知識的掌握更輕松些.

4. 在對性質(zhì)的講解中，教師可將學(xué)生分成若干組，每個(gè)學(xué)生分別對事先準(zhǔn)備后的圖形進(jìn)行邊、角、對角線的測量，然后在組內(nèi)進(jìn)行整理、歸納.

5. 由于正方形的性質(zhì)定理證明比較簡單，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析思路，由學(xué)生來進(jìn)行具體的證明.

6.在正方形性質(zhì)應(yīng)用講解中，為便于理解掌握，教師要注意題目的層次安排。

教學(xué)引入

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平行四邊形、矩形和菱形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，他們都具有平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)又都具有各自獨(dú)特的性質(zhì)。

師：現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)一種新的特殊的平行四邊形----正方形。

講授新課

師：正方形我們在小學(xué)就已經(jīng)接觸過，首先我們來看正方形的定義。

動(dòng)畫演示：

場景一：正方形定義

師：正方形的定義我們可以分成倆部分來理解：

（1）       有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

（2）       有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。

師：根據(jù)這兩部分我們會想起什么？

[學(xué)生活動(dòng)：積極思考，回想學(xué)過定義，大部分學(xué)生會想起矩形和菱形，小聲議論甚至搶答。]

生：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，（1）說的是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，（2）說的是菱形。

生：正方形既是矩形又是菱形。

生：正方形還是平行四邊形。

師：大家想得都不錯(cuò)。正方形既是矩形又是菱形，根據(jù)定義，他還是平行四邊形。

師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形。

動(dòng)畫演示：

場景二：正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系

師：正方形、平行四邊形、矩形、菱形他們之間的關(guān)系還可以用圖1來表示：

圖1

師：請同學(xué)們回想一下，我們在學(xué)習(xí)矩形、菱形時(shí)，知道矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，他們都具有平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)又都具有各自獨(dú)特的性質(zhì)。

師：那么，根據(jù)正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系，正方形應(yīng)具有什么樣的性質(zhì)？

[學(xué)生活動(dòng)：回憶矩形、菱形的性質(zhì)，并逐個(gè)驗(yàn)證在正方形上。]

師在學(xué)生活動(dòng)時(shí)要注意觀察學(xué)生的情況，有疑惑時(shí)要注意及時(shí)反饋。

師：我們來歸納總結(jié)正方形的性質(zhì)。

動(dòng)畫演示：

場景三：矩形的性質(zhì)

場景四：菱形的性質(zhì)

¿場景五：正方形的性質(zhì)

例題講解

例1 在已知銳角三角形ABC外邊作正方形ABDE和正方形ACFG，求證：BG=CE

分析：據(jù)已知條件畫出圖形，如圖2所示，要證明線段相等，與圖形可以證明二個(gè)三角形全等，即只需證明△ABG≌△AEC.

證明：∵四邊形ABDE和ACFG都是正方形

∴AB=AE,AG=AC

∠BAE=∠CAG=90°

∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

即∠BAG=∠EAC

∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE

圖2

說明：應(yīng)用正方形的性質(zhì)，可以為證明全等提供條件，要注意等式性質(zhì)的應(yīng)用，這與向銳角三角形ABC外作等邊三角形的結(jié)論完全相同，證法是可以借鑒的。

鞏固練習(xí)

鞏固練習(xí)題目可有教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。

講解新課

師：正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形，那么根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系，怎么判定一個(gè)矩形是正方形？

生：證一組鄰邊相等。

師：怎么判定一個(gè)菱形是正方形？

生：證有一個(gè)角是直角。

師：怎么判定一個(gè)平行四邊形是正方形？

生：根據(jù)定義，證有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角。

師：那么，剛才的結(jié)論如果用圖來表示，是不是如圖3所示？

師：圖3表現(xiàn)出由平行四邊形、矩形、菱形分別得到正方形的三種方法。這是我們根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系得到的，但似乎有缺憾，能不能同樣根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系把圖3補(bǔ)全？

[學(xué)生活動(dòng)：積極思考，部分學(xué)生疑惑不解。]

師點(diǎn)取上等學(xué)生回答問題，根據(jù)回答得圖4。

生恍然大悟。

學(xué)生思路得到啟發(fā)，中上等及上等學(xué)生意猶未盡，鼓勵(lì)他們根據(jù)矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其舉出簡單示例。

就勢跟進(jìn)，要求學(xué)生思考，給定四邊形，有什么樣的邊、角、對角線條件可判定四邊形是正方形？要求給出簡單圖例，并說出相應(yīng)證明思路。

為進(jìn)一步理解正方形的判定方法，可研究以下幾個(gè)問題：

(3)對角線相等的菱形是正方形嗎？

(4)對角線互相垂直的矩形是正方形嗎？

(5)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形嗎？若不是，還需增加什么條件？

(6)能說“四條便都相等的四邊形是正方形嗎?”

(7)四個(gè)角都相等的四邊形是正方形嗎？

小結(jié)：證明正方形的思路，總體講三種思路，如圖4所示；遇到具體條件要學(xué)會具體分析，規(guī)定條件和隱含條件不外乎邊、角、對角線，或者把他們攪和在一起。這是一定要都要冷靜，學(xué)會去分析。

動(dòng)畫演示：

場景六：正方形的判定

F例題講解

例2  如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB的中點(diǎn)，DE、CF相交于M，

求證：AD=AM。

分析：欲證AD=AM，只需證明∠1=∠2，但要根據(jù)題目條件直接證明∠1=∠2比較困難，考慮到E、F是正方形的兩邊中點(diǎn)，容易證明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，這是要證AD=AM，是否想到與直角有關(guān)的等腰三角形？只需延長CF、DA交于N，即可出現(xiàn)直角三角形MND，只要證明A是ND中點(diǎn)即可。這是是否發(fā)現(xiàn)△BCF≌△ANF？由AN=BC=AD，從而A是ND中點(diǎn)，MA是直角三角形MND的斜邊ND上的中線。問題得證。

證明：略。

說明：將此題中的中點(diǎn)E、F進(jìn)行變化：E、F分別為正方形ABCD的邊BC、AB上的點(diǎn)，且BE=AF，則有DE⊥CF。這個(gè)變化后的圖形在正方形中常常出現(xiàn)，要注意隱含的這個(gè)垂直條件。

課堂練習(xí)題及課后作業(yè) 可由教師根據(jù)學(xué)生情況自主選擇。